Les deux voies tirent leur nom d’un couvent du Vieux-Nice, celui de Sainte-Claire des sœurs de la Visitation qui étaient établies avant la Révolution à l’hospice de la Providence.
Les religieuses de l’ordre de Cîteaux qui adoptèrent en 1551 la règle de sainte Claire ont occupé divers établissements à Villefranche, à Riquier et au pied du Château au lieu-dit « lou Mounastié ». Mais les religieuses durent quitter ce local en 1517 lors de l’agrandissement de l’enceinte fortifiée. Rebâti en 1519 et en 1604, le couvent fut détruit en 1691 lors du bombardement par les troupes du maréchal Catinat. Au début du XVIIIe siècle, il fut réédifié sur l’emplacement actuel qui fut occupé jusqu’en 1792. À la restauration sarde, les dégâts furent réparés et on y installa en 1819 les sœurs de la Visitation qui étaient rigoureusement cloîtrées et se consacraient à l’éducation. Les Visitandines ont quitté le couvent et la chapelle il y a une vingtaine d’années. La municipalité leur a racheté l’ensemble et l’a remis à la Fraternité Saint-Pie X qui l’a dédié à saint Joseph.
Pendant la Révolution, la rue s’est appelée rue du Salut et le quartier tout entier Viala.
Fondatrice de l’ordre des Clarisses, sainte Claire d’Assise (1194-1253) se fête le 11 août et, selon la tradition, elle passe pour guérir les maladies des yeux d’où le dicton:
« Vengue lou jour de Santa Clara, lus per camin e gent per rara ». (Que vienne le jour de sainte Claire, lumière (soleil) par chemins et gens sur les sentiers). L’herbe de Sainte-Claire, la chélidoine ou éclaire a les mêmes vertus. La moderne télévision en a fait sa patronne. L’art la représente avec un ostensoir entre les mains, attitude dans laquelle elle sauva miraculeusement son monastère d’un assaut.

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